Stationäre iterative Verfahren und ihre Anwendung auf einige in der Physik auftretende Probleme

Ziel dieses Papiers ist die Bewertung der stationären iterativen Verfahren und ihrer Anwendung auf einige in der Physik auftretende Probleme. Die Lösung solcher Probleme hängt vom Kriterium der Diagonaldominanz für die Konvergenz dieser stationären iterativen Verfahren ab. In dieser Arbeit wird die Lösung solcher linearen algebraischen Gleichungen diskutiert. Die Iterationsmatrizen der Jacobi- und Gauss-Seidel-Verfahren wurden durch die Zerlegung der Koeffizientenmatrizen abgeleitet. Ihre Konvergenz wurde mit dem Kriterium der Diagonaldominanz geprüft und die Verfahren wurden als konvergent befunden. Anschließend wurde das Kriterium der schwachen Diagonaldominanz hergeleitet. Die Iterationsmatrizen wurden dann verwendet, um ihre jeweiligen Spektralradien zu ermitteln. Die Konvergenzraten der Verfahren wurden im Zusammenhang mit den Spektralradien der Iterationsmatrizen und der Struktur der Koeffizientenmatrizen diskutiert. Die Koeffizientenmatrizen der verwendeten Beispiele gehörten zu drei Kategorien: strikt diagonaldominante, schwach diagonaldominante und nicht diagonaldominante Matrizen. Die Spektralradien der Iterationsmatrizen für die strikt diagonaldominanten Systeme waren kleiner als eins und die Iterationen der Jacobi-, Gauss-Seidel- und Successive-Overrelaxation-Verfahren konvergierten. Für die schwach diagonaldominanten Systeme hatte nur die Jacobi-Iterationsmatrix einen Spektralradius größer als eins, und das Verfahren konvergierte nicht.