Dieses Papier, basierend auf der differentialalgebraischen Abschlusstheorie und der Methode endlicher Darstellungen transzendentaler Funktionen, entwickelt in „On Differential Algebraic Closure Solutions, Finite Representations of Transcendental Functions, and a Framework for Applications in Number Theory“ (dem sogenannten Framework), präsentiert den ersten konstruktiven Beweis der Hodge-Vermutung. Die Kernbeiträge sind: (1) Einführung der Differentialalgebraischen Hodge-Theorie, welche die Hodge-Strukturen und Periodenabbildungen komplexer projektiver Varietäten vollständig in den differentialalgebraischen Abschlußrahmen integriert und beweist, dass Hodge-Klassen endliche Darstellungen in Erweiterungen zulassen, die durch differentialalgebraische Lösungen polynomialer Gleichungen erzeugt werden; (2) Konstruktion eines expliziten differentialalgebraischen Modells für Hodge-Zyklen, wobei für jede rationale (p, p)-Hodge-Klasse η auf einer glatten komplexen projektiven Varietät X ein differentialalgebraischer Zyklus Zη konstruiert wird, dessen definierende Gleichungen explizit durch die differentialalgebraischen Periodendaten von X gegeben sind, und es wird bewiesen, dass dieser η bis auf rationale Äquivalenz repräsentiert; (3) Etablierung eines starren Vergleichssatzes für Periodenschließungen, der zeigt, dass der durch den differentialalgebraischen Abschluß erzeugte Periodenraum isomorph zum klassischen Periodenraum ist, womit sichergestellt wird, dass der konstruierte Zyklus sowohl algebraisch ist als auch exakt zur gegebenen Hodge-Klasse passt; (4) Lösung für singuläre Varietäten und Kompaktifizierungen von Modulräumen, welche den Beweis auf beliebige komplexe projektive Varietäten durch Einführung quasi-differentialalgebraischer Abschlüsse und Rand-Hodge-Theorie erweitert. Dieses Papier beweist nicht nur die Hodge-Vermutung, sondern bietet auch einen operativen differentialalgebraischen Algorithmus zur expliziten Berechnung und algebraischen Realisierung von Hodge-Klassen, wodurch die Hodge-Theorie von einer existenziellen Aussage zu einer konstruktiven Theorie erhoben wird.
shifa liu (Mi,) untersuchte diese Fragestellung.