A Structural Approach to the Collatz Dynamics

Portuguese Title: Uma Abordagem Estrutural para a Dinâmica da Função de Collatz. Português: Apresentamos uma abordagem estrutural para a análise da dinâmica da função de Collatz baseada em árvores inversas associadas a nós especiais da forma mₖ = (2^2k-1) /3. Combinando o refinamento modular com a análise de intervalos consecutivos de base 2, (2ᵃ, 2^a+1), desenvolvemos um método que associa cada inteiro positivo a uma árvore inversa específica. Essa estrutura permite prever o comportamento final das sequências de Collatz sem a necessidade de calcular toda a órbita. O trabalho oferece uma nova perspectiva para a organização global da dinâmica do problema 3n+1. English: We present a structural framework for analyzing the dynamics of the Collatz map based on inverse trees associated with special nodes of the form mₖ = (2^2k-1) /3. By combining modular refinement with the analysis of consecutive binary intervals (2ᵃ, 2^a+1), we develop a method that associates each positive integer with a specific inverse tree. This structure enables the prediction of the terminal behavior of Collatz sequences without requiring exhaustive iteration. The work provides a new perspective on the global organization of the 3n+1 problem.