Modellierung von Zufallsbewegungen in der Biologie

Die mathematische Modellierung der Bewegung von Tieren, Mikroorganismen und Zellen ist von großer Bedeutung in den Bereichen Biologie, Ökologie und Medizin. Bewegungsmodelle können viele verschiedene Formen annehmen, aber die am häufigsten verwendeten basieren auf den Erweiterungen einfacher Zufallswegprozesse. In diesem Übersichtsartikel verfolgen wir zwei Ziele: die Mathematik hinter Zufallsbewegungen auf unkomplizierte Weise einzuführen und zu erklären, wie solche Modelle unser Verständnis biologischer Prozesse unterstützen können. Wir führen die mathematische Theorie hinter dem einfachen Zufallsweg ein und erklären, wie dies mit der Brownschen Bewegung und diffusionsartigen Prozessen im Allgemeinen zusammenhängt. Wir demonstrieren, wie diese einfachen Modelle erweitert werden können, um Drift und Wartezeiten einzubeziehen oder um erste Durchgangszeiten zu berechnen. Wir erörtern verzerrte Zufallsbewegungen und zeigen, wie hyperbolische Modelle verwendet werden können, um korrelierte Zufallsbewegungen zu erzeugen. Wir behandeln zwei Hauptanwendungen des Zufallswegmodells. Zuerst überprüfen wir Modelle und Ergebnisse in Bezug auf die Bewegung, Ausbreitung und Umverteilung von Tieren und Mikroorganismen. Dies umfasst die direkte Berechnung der mittleren quadratischen Verschiebung, der mittleren Ausbreitungsdistanz, von Tortuositätsmaßen sowie möglicher Einschränkungen dieser Modellansätze. Zweitens werden Modelle der orientierten Bewegung und Chemotaxis überprüft. Allgemeine hyperbolische Modelle, die auf der linearen Transportgleichung basieren, werden eingeführt, und wir zeigen, wie ein verstärkter Zufallsweg verwendet werden kann, um Bewegungen zu modellieren, bei denen das Individuum seine Umgebung verändert. Wir diskutieren die Anwendungen dieser Modelle im Kontext der Zellmigration, die zum Wachstum von Blutgefäßen (Angiogenese) führt. Schließlich erörtern wir, wie die verschiedenen Zufallswegmodelle und Ansätze miteinander verbunden sind und die Verbindungen, die vielen der Schlüsselprozesse zugrunde liegen.