Outils à deux échelles pour l'homogénéisation et la réduction dimensionnelle de couches minces perforées : extensions, inégalités de Korn et compacité d'ensembles dépendants de l'échelle dans les espaces de Sobolev

Dans cette étude, nous développons des méthodes fondamentales pour l'analyse multi-échelle de problèmes dans des couches minces poreuses. Plus précisément, nous fournissons des outils pour l'homogénéisation de structures « tangentiellement » périodiques, et la réduction dimensionnelle en faisant tendre l'épaisseur de la couche vers zéro proportionnellement au paramètre d'échelle ϵ . Un point crucial est l'identification des limites d'échelle de suites v ϵ caractérisées par des estimations a priori uniformes par rapport à ϵ , apparaissant comme solutions d'équations différentielles, telles que le système de Navier–Stokes, l'élasticité linéaire ou les problèmes d'interaction fluide-structure, dans des milieux à couches minces. Souvent dans de tels problèmes, dans une première étape, les gradients symétriques peuvent être contrôlés, et l'inégalité de Korn dans les couches poreuses est requise pour estimer les gradients. Nous construisons des extensions contrôlables de remplissage des pores et les utilisons pour la démonstration des inégalités de Korn requises dans les espaces L p . Ces résultats constituent la base de l'obtention de résultats de compacité par rapport à la convergence à deux échelles et de la caractérisation des limites d'échelle. Pour illustrer le champ d'application des méthodes multi-échelles développées, une équation d'onde élastique semi-linéaire dans une couche mince périodiquement perforée avec une condition aux limites de Neumann non homogène à la surface de la sous-structure élastique est traitée et un système homogénéisé et réduit est dérivé.