Les jointures des sous-locales fermées ne sont pas toujours un co-trame

Résumé Étant donné un locale L, la collection ordonnée Sc(L) des jointures des sous-locales fermées forme un trame—ce qui est quelque peu inattendu, car elle est naturellement intégrée dans le co-trame de tous les sous-locales de L, où par co-trame nous entendons le dual d'ordre théorique d'un trame. Cette construction a suscité de l'attention en topologie sans points : en tant qu'extension essentielle maximale dans la catégorie des trames, pour ses propriétés (non-)fonctionnelles, sa relation avec les extensions canoniques et les filtres exacts des trames, etc. Une question ouverte centrale de la théorie, posée par Picado, Pultr et Tozzi en 2019, demandait si Sc(L) est toujours un co-trame, ou s'il existe un locale pour lequel cela échoue. Dans cet article, nous répondons négativement à cette question en construisant un locale L tel que Sc(L) n'est pas un co-trame. Le principal défi de cette question réside dans la difficulté de comprendre les infimes exacts dans Sc(L) ; nous contournons cela en analysant une certaine propriété de séparation satisfaite par Sc(L).