Un coloriage propre ϕ de G est appelé coloriage propre sans conflit de G si pour chaque sommet non isolé v de G, il existe une couleur c telle que |ϕ^{-1}(c) ∩ N_G(v)| = 1. En analogie avec la choisissabilité selon le degré des graphes, nous avons introduit la notion de choisissabilité propre sans conflit (degré + k) des graphes. Pour un entier non négatif k, un graphe G est propre sans conflit (degré + k)-choisissable si pour toute assignation de listes L de G avec |L(v)| ≥ d_G(v) + k pour chaque sommet v ∈ V(G), G admet un coloriage propre sans conflit ϕ tel que ϕ(v) ∈ L(v) pour chaque sommet v ∈ V(G). Dans cette note, nous remarquons d'abord que si un graphe G est d-dégénéré, alors G est propre sans conflit (degré + d + 1)-choisissable. De plus, lorsque d = 1, nous pouvons réduire le nombre de couleurs en montrant que tout arbre est propre sans conflit (degré + 1)-choisissable. Cela motive la formulation d'une question.
Kashima et al. (Wed,) ont étudié cette question.