Diese Doktorarbeit setzt sich aus drei Arbeiten in der Frame-Theorie zusammen. Frames sind abzählbare Familien von Vektoren in einem separablen Hilbertraum, die es ermöglichen, jeden Vektor dieses Raums auf lineare, stetige und stabile Art und Weise aus seinen Frame-Koeffizienten zu rekonstruieren. Eine natürliche Verallgemeinerung von Frames sind operatorwertige Frames, die gleichermaßen eine perfekte Rekonstruktion aus linearen Messungen höheren Ranges ermöglichen. In dieser Arbeit untersuchen wir (operatorwertige) Frames, deren Elemente eine zusätzliche Inkohärenzeigenschaft erfüllen, die als Lokalisierung bezeichnet wird. Der Grad der Lokalisierung wird durch das Abklingverhalten der Einträge der zugrundeliegenden (operatorwertigen) Gram-Matrix von der Hauptdiagonale weg gemessen. Genauer gesagt, heißt ein Frame lokalisiert, wenn seine zugehörige Gram-Matrix zu einer passenden invers-abgeschlossenen Matrixalgebra gehört. Der erste Artikel widmet sich der Untersuchung von Algebren operatorwertiger Matrizen, die in der Banach-Algebra der beschränkten Operatoren auf dem Bochner-Raum quadratisch summierbarer Hilbertraum-wertiger Folgen enthalten und invers-abgeschlossen sind. Insbesondere untersuchen wir operatorwertige Versionen von gewichteten Schur-Algebren, der Jaffard-Algebra und einige ihrer Verallgemeinerungen, die Baskakov-Gohberg-Sjöstrand-Algebra, sowie all ihre anisotropen Versionen, und zeigen, dass jede dieser Matrixalgebren invers-abgeschlossen und insbesondere auch eine symmetrische Banach-Algebra ist. Im zweiten Artikel wird ein Lokalisierungskonzept für operatorwertige Frames eingeführt. Wir beweisen, dass operatorwertige Frames ihre Lokalisierung auf ihr kanonisch duales Frame vererben. Wir zeigen, dass zu jedem lokalisierten operatorwertigen Frame eine ganze Familie von zugehörigen (quasi-)Banachräumen existiert. Wir beweisen, dass die Rekonstruktionsformel bezüglich des gegebenen operatorwertigen Frames nicht nur im zugrundeliegenden Hilbertraum, sondern auch in jedem dieser eingeführten Räume gültig ist. Schließlich wenden wir unsere Theorie auf irreguläre Gabor-g-Frames an. Im dritten Artikel beweisen wir die Äquivalenz der Frame-Eigenschaft einer gegebenen, geeignet lokalisierten Folge in einem Hilbertraum mit neun weiteren Bedingungen, die ohne Ungleichung formuliert sind. Dieses Ergebnis wenden wir in der Theorie der verschiebungsinvarianten Räume an, woraus wir neue Bedingungen für das stabile (unregelmäßige) Abtasten in diesen Räumen gewinnen.
Lukas Köhldorfer (Wed,) studied this question.