▸ Scholarly Abstract: We establish that game type—the qualitative character of a strategic interaction—is a fiber over the space of payoff parameters, proving this completely for symmetric 2×2 games. The base manifold of normalised payoffs is partitioned into regions (strata), each labelled by a game type. Five boundary lines partition the plane into exactly twelve regions corresponding to all strict ordinal types. We characterise the boundary distance metric and show that games near boundaries are structurally fragile: small payoff perturbations flip the game type. This geometric framework provides the foundation for mechanism design as boundary crossing. ▸ Plain Language Summary: When the payoffs in a strategic situation change gradually, the type of game—Prisoner's Dilemma, Stag Hunt, Chicken—can flip suddenly. We show this happens because game types label regions of a continuous payoff space, like countries on a map. For symmetric two-player games, there are exactly twelve 'countries' separated by five border lines. Games near these borders are fragile: a small change in payoffs moves them into a different strategic regime. ▸ Scientific Significance: (1) Problem importance. The gap between discrete classification of strategic interactions (Robinson–Goforth's periodic table) and the continuous reality of payoff variation was unresolved—central to understanding why strategic regimes shift suddenly despite smooth parameter changes. (2) Novelty. First geometric proof that game types form fibers over a continuous payoff manifold; first boundary distance metric quantifying the cost of moving a game from one type to another. (3) Rigor. Complete proof for all symmetric 2×2 games: exact enumeration of 12 types separated by 5 boundary hyperplanes, with explicit distance formulae. (4) Magnitude of advance. Bridges Robinson–Goforth's discrete taxonomy and continuous payoff geometry—transforming strategic classification from combinatorial catalogue to differential-geometric structure. (5) Reach. Foundation for mechanism design as boundary crossing; enables the Principle of Topological Inevitability (companion paper); applicable to any 2×2 strategic interaction in economics, political science, and evolutionary biology.═══ FRANÇAIS (FR) ═══ ▸ Résumé technique : Nous établissons que le type de jeu — le caractère qualitatif d'une interaction stratégique — est une fibre sur l'espace des paramètres de gain, le prouvant complètement pour les jeux symétriques 2×2. La variété de base des gains normalisés est partitionnée en régions (strates), chacune étiquetée par un type de jeu. Cinq lignes frontières divisent le plan en exactement douze régions correspondant à tous les types ordinaux stricts. ▸ Explication accessible : Quand les gains dans une situation stratégique changent graduellement, le type de jeu — Dilemme du Prisonnier, Chasse au Cerf, Poule Mouillée — peut basculer soudainement. Nous montrons que cela se produit parce que les types de jeux étiquettent des régions d'un espace continu, comme des pays sur une carte. ▸ Importance scientifique : Relie la « table périodique » discrète de Robinson–Goforth (2005) à l'espace continu des gains. Explique pourquoi les régimes stratégiques changent brusquement malgré des variations paramétriques lisses. La métrique de distance aux frontières quantifie le « coût » d'intervention : combien il faut payer pour déplacer un jeu d'un type à un autre. ═══ DEUTSCH (DE) ═══ ▸ Technische Zusammenfassung: Wir zeigen, dass der Spieltyp — der qualitative Charakter einer strategischen Interaktion — eine Faser über dem Raum der Auszahlungsparameter ist, und beweisen dies vollständig für symmetrische 2×2-Spiele. Die Basismannigfaltigkeit normalisierter Auszahlungen ist in Regionen (Schichten) unterteilt, die jeweils einem Spieltyp zugeordnet sind. Fünf Grenzlinien unterteilen die Ebene in genau zwölf Regionen. ▸ Allgemeinverständliche Erklärung: Wenn sich die Auszahlungen in einer strategischen Situation allmählich ändern, kann der Spieltyp — Gefangenendilemma, Hirschjagd, Feiglingsspiel — plötzlich umschlagen. Wir zeigen, dass dies geschieht, weil Spieltypen Regionen eines kontinuierlichen Raums markieren, wie Länder auf einer Karte. ▸ Wissenschaftliche Bedeutung: Verbindet das diskrete "Periodensystem" von Robinson–Goforth mit dem kontinuierlichen Auszahlungsraum. Erklärt, warum strategische Regime trotz glatter Parameteränderungen plötzlich wechseln. Die Grenzabstandsmetrik quantifiziert die "Kosten" einer Intervention. ═══ TÜRKÇE (TR) ═══ ▸ Teknik Özet: Oyun tipinin — stratejik bir etkileşimin niteliksel karakterinin — ödeme parametreleri uzayı üzerinde bir lif olduğunu kanıtlıyoruz; bu, simetrik 2×2 oyunlar için tamamen ispatlanmaktadır. Normalleştirilmiş ödemelerin taban manifoldu, her biri bir oyun tipiyle etiketlenen bölgelere (tabakalara) ayrılır. Beş sınır çizgisi düzlemi tam olarak on iki bölgeye ayırır. ▸ Sade Açıklama: Stratejik bir durumda ödemeler kademeli olarak değiştiğinde, oyun tipi — Mahkûm İkilemi, Geyik Avı, Tavuk — aniden değişebilir. Bunun, oyun tiplerinin bir haritadaki ülkeler gibi sürekli bir uzayın bölgelerini etiketlemesinden kaynaklandığını gösteriyoruz. ▸ Bilimsel Önemi: Robinson–Goforth'un ayrık periyodik tablosu ile sürekli ödeme uzayını birbirine bağlar. Stratejik rejimlerin düzgün parametre değişikliklerine rağmen neden aniden değiştiğini açıklar. ═══ ESPAÑOL (ES) ═══ ▸ Resumen técnico: Establecemos que el tipo de juego — el carácter cualitativo de una interacción estratégica — es una fibra sobre el espacio de parámetros de pago, demostrándolo completamente para juegos simétricos 2×2. La variedad base de pagos normalizados se particiona en regiones (estratos), cada una etiquetada por un tipo de juego. Cinco líneas fronterizas dividen el plano en exactamente doce regiones. ▸ Explicación accesible: Cuando los pagos en una situación estratégica cambian gradualmente, el tipo de juego — Dilema del Prisionero, Caza del Ciervo, Gallina — puede cambiar repentinamente. Mostramos que esto ocurre porque los tipos de juego etiquetan regiones de un espacio continuo, como países en un mapa. ▸ Importancia científica: Conecta la tabla periódica discreta de Robinson–Goforth con el espacio continuo de pagos. Explica por qué los regímenes estratégicos cambian abruptamente a pesar de variaciones paramétricas suaves. ═══ العربية (AR) ═══ ▸ الملخص التقني: نثبت أن نوع اللعبة — الطابع النوعي للتفاعل الاستراتيجي — هو ليف فوق فضاء معاملات المكافآت، مع إثبات كامل للألعاب المتماثلة 2×2. خمسة خطوط حدودية تقسم المستوى إلى اثنتي عشرة منطقة بالضبط. ▸ الشرح المبسط: عندما تتغير المكافآت في موقف استراتيجي تدريجياً، يمكن لنوع اللعبة أن ينقلب فجأة. نبيّن أن هذا يحدث لأن أنواع الألعاب تُعنون مناطق في فضاء مستمر، مثل البلدان على الخريطة. ▸ الأهمية العلمية: يربط هذا البحث بين الجدول الدوري المنفصل لـRobinson–Goforth وفضاء المكافآت المستمر. يفسر لماذا تتحول الأنظمة الاستراتيجية فجأة رغم التغيرات السلسة. ═══ РУССКИЙ (RU) ═══ ▸ Техническое резюме: Мы доказываем, что тип игры — качественный характер стратегического взаимодействия — является слоем над пространством параметров выплат, полностью доказывая это для симметричных игр 2×2. Пять граничных линий разбивают плоскость ровно на двенадцать областей. ▸ Доступное объяснение: Когда выплаты в стратегической ситуации меняются постепенно, тип игры может измениться внезапно. Это происходит, потому что типы игр маркируют области непрерывного пространства, как страны на карте. ▸ Научная значимость: Связывает дискретную «периодическую таблицу» Робинсона–Гофорта с непрерывным пространством выплат. Объясняет, почему стратегические режимы меняются внезапно несмотря на плавные изменения параметров. Метрика граничного расстояния количественно определяет стоимость интервенции. ═══ 中文 (ZH) ═══ ▸ 技术摘要: 我们证明博弈类型——战略互动的定性特征——是支付参数空间上的纤维,对对称2×2博弈给出完整证明。标准化支付的基流形被划分为若干区域(层),每个区域标记一种博弈类型。五条边界线将平面精确划分为十二个区域。 ▸ 通俗解释: 当战略情境中的支付逐渐变化时,博弈类型——囚徒困境、猎鹿博弈、胆小鬼博弈——可能突然翻转。我们证明这是因为博弈类型标记了连续空间的区域,就像地图上的国家。 ▸ 科学意义: 本文连接了Robinson–Goforth的离散"周期表"与连续支付空间,提供了战略分类缺失的几何基础。解释了为什么战略体制在参数平滑变化时会突然转换。边界距离度量量化了干预的"成本"。 ═══ ΕΛΛΗΝΙΚΆ (EL) ═══ ▸ Τεχνική Περίληψη: Αποδεικνύουμε ότι ο τύπος παιγνίου — ο ποιοτικός χαρακτήρας μιας στρατηγικής αλληλεπίδρασης — είναι μια ίνα πάνω από τον χώρο παραμέτρων αμοιβών, αποδεικνύοντάς το πλήρως για συμμετρικά παίγνια 2×2. Πέντε οριακές γραμμές χωρίζουν το επίπεδο σε ακριβώς δώδεκα περιοχές. ▸ Προσιτή Εξήγηση: Όταν οι αμοιβές σε μια στρατηγική κατάσταση αλλάζουν σταδιακά, ο τύπος παιγνίου μπορεί να αλλάξει ξαφνικά. Δείχνουμε ότι αυτό συμβαίνει επειδή οι τύποι παιγνίων σημαδεύουν περιοχές ενός συνεχούς χώρου, όπως χώρες σε χάρτη. ▸ Επιστημονική Σημασία: Γεφυρώνει τον διακριτό περιοδικό πίνακα των Robinson–Goforth και τον συνεχή χώρο αμοιβών. Εξηγεί γιατί τα στρατηγικά καθεστώτα αλλάζουν ξαφνικά παρά τις ομαλές παραμετρικές μεταβολές. ═══ עברית (HE) ═══ ▸ תקציר טכני: אנו מוכיחים שסוג המשחק — האופי האיכותי של אינטראקציה אסטרטגית — הוא סיב מעל מרחב פרמטרי התמורות, תוך הוכחה מלאה עבור משחקים סימטריים 2×2. חמישה קווי גבול מחלקים את המישור לשנים-עשר אזורים בדיוק. ▸ הסבר נגיש: כאשר התמורות במצב אסטרטגי משתנות בהדרגה, סוג המשחק יכול להתהפך פתאום. אנו מראים שזה קורה כי סוגי משחקים מסמנים אזורים במרחב רציף, כמו מדינות על מפה. ▸ חשיבות מדעית: מגשר בין הטבלה המחזורית הבדידה של Robinson–Goforth לבין מרחב התמורות הרציף. מסביר מדוע משטרים אסטרטגיים משתנים פתאום למרות שינויים פרמטריים חלקים.
Kafkas M. Caprazli (Fri,) studied this question.