Compactificación del espectro real de los componentes de Hitchin, longitudes valoradas en cámaras de Weyl y espacios duales

El resultado principal de este artículo es que las representaciones de Hitchin sobre extensiones del campo real cerradas F de R corresponden precisamente a aquellas representaciones del grupo fundamental de una superficie cerrada en PSL(n,F) que son conjugadas a representaciones F-positivas, es decir, representaciones que admiten un mapa límite equivariantes desde el conjunto de puntos fijos en el borde de la cubierta universal de la superficie hacia el conjunto de banderas completas en Fn que satisfacen propiedades específicas de positividad. Como el teorema trata con campos reales cerrados generales, y no solo con los reales, las herramientas de análisis no están disponibles. En cambio, nuestra demostración se basa en el principio de transferencia de Tarski–Seidenberg y una versión multiplicativa de las coordenadas de Bonahon–Dreyer. Utilizamos este resultado para demostrar que las representaciones F-positivas forman componentes semialgébricamente conectados del espacio de todas las representaciones, que consisten enteramente en representaciones inyectivas y discretas, que son positivamente hiperbolicas y débilmente preservadoras de la dinámica sobre F. Además, mostramos cómo asociar corrientes geodésicas de intersección a representaciones F-positivas y concluimos con aplicaciones a la compactificación por longitud en cámaras de Weyl y a espacios duales de corrientes geodésicas.