トーラス幾何学としての音楽構造：𝕋³における循環置換がフレーズの閉鎖、重唱、音階選択の生成的枠組みとして

我々は、三トーラス𝕋³上の循環置換が音楽のコア構造要素―フレーズの閉鎖、重唱音声の分解、間隔論理、メロディの輪郭、リズムの変化、音階選択―を五つのパラメータの構成の中で符号化することを示します。この枠組みをResonanT⁴ (RT⁴)と呼び、完全な音楽フレーズを数学的に保証された特性を持って生成するために、整数(n, k)と周波数(ω, ξ, ψ)のみを必要とします。置換の軌道はフレーズであり、フレーズの閉鎖は定理であり、ヒューリスティックではありません。gcd(n, k) > 1の場合、軌道はピッチでオフセットされた同一のサブ軌道に分解されます―これは、作曲の慣習ではなく数論に由来する典型的な声です。非有理的な巻きつき比率k/nの量子化が正確に二つの間隔タイプを持つシュトゥルミアン列を生成することを証明しました。黄金比φが12-TETにおいて最も調和的な間隔ペア―完全5度と短6度を生成することを示しました。五度圏が特定の軌道(n = 12, k = 7)として浮かび上がります。認められる全ての軌道において、正確に23の異なる間隔ペアタイプが存在します。n = 2から10,000までの計算検証は、全ての理論的予測を確認しました。