Abstract The conventional formulation of the double pendulum treats time t as a parameter and describes the endpoint trajectory in terms of the coordinates (x₂, y₂). In this treatment, geometric information in the time direction is absent from the trajectory analysis, leaving the intrinsic geometry of the trajectory incompletely described. This paper redefines the endpoint trajectory as the three-dimensional curve r(t) = (x₂(t), y₂(t), t) and applies the Frenet–Serret formulas to derive the curvature κ and torsion τ explicitly. The derived expressions contain time-dependent terms that are absent from the conventional two-dimensional framework. This paper proposes τ/κ as a geometric descriptor of the double pendulum system and demonstrates that this descriptor possesses structural properties that distinguish it from the Lyapunov exponent. 초록 이중진자계의 기존 운동방정식은 시간 t를 매개변수로 취급하며, 끝점 궤적을 좌표 (x₂, y₂)의 함수로 기술한다. 이 처리 방식에서 시간 방향의 기하학적 정보는 궤적 분석에 포함되지 않으며, 궤적의 내재적 기하 구조가 불완전하게 기술된다. 본 연구는 끝점 궤적을 3차원 곡선 r(t) = (x₂(t), y₂(t), t)로 재정의하고, 프레네–세레 공식을 적용하여 곡률 κ와 비틀림 τ를 명시적으로 유도한다. 유도된 수식에서 기존 체계에 존재하지 않던 시간항이 분모와 분자에 구조적으로 등장한다. 본 연구는 τ/κ를 이중진자계의 기하학적 기술자로 제안하며, 이 기술자가 기존의 리아푸노프 지수와 구별되는 구조적 성질을 가짐을 보인다. Keywords double pendulum, torsion, curvature, geometric descriptor, Frenet-Serret, chaotic dynamics, time parameterization, Lyapunov exponent
Optical Eyez XL (Fri,) studied this question.