Falha das estimativas de restrição de ponto fraco para variedades quadráticas

Um artigo de Beckner, Carbery, Semmes e Soria provou que o operador de extensão de Fourier associado à esfera não pode ser limitado em tipo fraco no ponto de restrição q = 2d/ (d-1). Generalizamos sua abordagem para provar que o operador de extensão associado a qualquer variedade quadrática n-dimensional em Rᵈ não pode ser limitado em tipo fraco em q = 2d/n. O passo chave na generalização da prova de Beckner, Carbery, Semmes e Soria será substituir conjuntos de Kakeya por aquilo que chamaremos de conjuntos N-Kakeya, onde N denota um subconjunto fechado do Grassmanniano Gr (d-n, d). Definimos conjuntos N-Kakeya como subconjuntos de Rᵈ que contêm uma translação de cada segmento de plano d-n em N. Provaremos que se N é fechado e n-dimensional, então existem conjuntos N-Kakeya compactos e de medida zero, generalizando o mesmo resultado para conjuntos Kakeya padrão.