O artigo anterior desta série provou que, em um regime de ramificação simples genérico de fase limitada, órbitas de cauda renormalizadas livres de coordenadas determinam redes espectrais por câmaras, suas coordenadas de Voros abelianizadas e os fatores de mutação de Kontsevich--Soibelman de paredes simples através de fases BPS isoladas. Isso já representava um fortalecimento substancial do teorema global de reconstrução de Riemann--Hilbert selvagem, mas uma séria lacuna estrutural permanecia. Dados de cruzamento de paredes simples não produzem, por si só, um atlas de câmaras globalmente consistente: paredes de saída compostas podem ser impostas pela consistência, e coordenadas theta canônicas surgem apenas após completar os dados iniciais de parede para um diagrama de espalhamento completo. Um revisor rigoroso pode, portanto, perguntar se a órbita determina apenas saltos BPS elementares ou toda a geometria de espalhamento completada que os organiza. Este artigo responde a essa questão em um regime restrito de grau limitado. Permanecemos na classe de ramificação de polos simples suaves livre de coordenadas e no regime de redes espectrais genéricas de fase do artigo anterior. Em um intervalo compacto de planejamento de fases fixo, assumimos que apenas um número finito de pacotes BPS simples primitivos está ativo, que suas cargas estão em um cone positivo de um reticulado assimétrico de posto finito e que o completamento do espalhamento é de grau finito na janela limitada em estudo. Sob essas hipóteses, a órbita de cauda renormalizada determina um diagrama de espalhamento consistente canônico, seu atlas de câmaras e as correspondentes funções theta de linha quebrada. O primeiro teorema principal é um teorema de fechamento órbita-para-espalhamento. A partir das paredes de entrada primitivas extraídas de pacotes BPS simples unilaterais, existe um único diagrama de espalhamento completado consistente \ (D\), a menos da equivalência usual, cujos produtos ordenados por caminhos coincidem com os mapas de continuação de órbita entre cartas de Voros por câmaras. Assim, a órbita determina não apenas os fatores de parede elementares, mas a estrutura de parede completada imposta pela compatibilidade de ordem superior. O segundo teorema principal é um teorema de reconstrução theta de linha quebrada. Para cada expoente tropical inteiro \ (m\) e cada câmara \ (C\) de \ (D\), a órbita determina a função theta \ (₌, ₂\) definida pela soma de linha quebrada no diagrama completado. Essas funções theta se transformam pelos automorfismos do diagrama, fornecem coordenadas canônicas de câmara e separam o regime esparso do regime genuinamente acoplado: quando todas as cargas ativas primitivas comutam, as funções theta colapsam em monômios, ao passo que correções não triviais de linha quebrada aparecem precisamente quando sobrevivem paredes de espalhamento compostas. O terceiro teorema principal fornece uma declaração de Torelli para atlas de espalhamento. A órbita determina, a menos de isomorfismo equivariante por toro, o atlas de câmaras completo obtido pela colagem de toros algébricos ao longo de produtos ordenados por caminhos de \ (D\), juntamente com a base theta em cada câmara. Em particular, a órbita determina rigidamente o grupoide finito de câmaras e todos os mapas de transição de câmaras na região compacta de planejamento. O quarto teorema principal é um teorema quantitativo de recuperação por sementes finitas. Fixe um corte de grau \ (K\), um grafo de câmaras finito e um conjunto finito de rótulos theta. Então, um número finito de sondas de órbita recupera todas as funções de parede até o grau \ (K\) e os coeficientes theta correspondentes com erro \ \! (N^-1/p_*+N+N+N+K), \ onde \ (p_*\) é o posto de Poincar\'e ativo maximal, \ (N\) é o defeito de discretização, \ (N\) o defeito de modelagem, \ (N\) o piso de medição e \ (K\) a cauda de corte. O teorema é explicitamente uma recuperação assintótica de horizonte finito local; não é reivindicado como um algoritmo numérico global para ruído arbitrário. Conceitualmente, o artigo aprimora a abelianização por câmaras para a geometria de espalhamento completada. No regime estabelecido, órbitas de cauda renormalizadas determinam o diagrama de espalhamento consistente, a base theta de linha quebrada, o atlas de câmaras e um esquema quantitativo de recuperação por sementes finitas.
Mohammad Abu-Ghuwaleh (Tue,) estudou essa questão.