O Cálculo Operacional da Transformada Generalizada de Laplace: Um Método Unificado para Modelos de Decaimento Anômalos

Este artigo apresenta uma transformada generalizada de Laplace, denotada por , definida através de uma função núcleo estritamente crescente ϕ ( t ). Diferentemente de trabalhos anteriores que se concentram em definições formais, nosso quadro unifica as transformadas clássicas, gaussianas e do tipo Mellin, ao mesmo tempo que fornece um cálculo operacional sistemático. Em particular, derivamos rigorosamente identidades de segunda derivada, resolvendo ambiguidades e inconsistências presentes na literatura existente para núcleos singulares e não padrão. Além da generalização formal, introduzimos um método unificado para resolver equações diferenciais de primeira e segunda ordem com coeficientes variáveis. Explorando um fenômeno distintivo de cancelamento, equações complexas com coeficientes variáveis, incluindo modelos do tipo Hermite, podem ser simplificadas algébrica-mente no domínio da transformada. Ilustramos ainda a utilidade prática da abordagem com exemplos detalhados em difusão anômala e decaimento viscoelástico, demonstrando que o quadro oferece uma ferramenta robusta e analiticamente tratável mesmo em situações onde métodos clássicos baseados em exponenciais falham.