Teoría geométrica de bifurcaciones: geometría de la información de Fisher aplicada a sistemas dinámicos y complejos

Aunque los métodos geométricos se han aplicado en muchos campos de la física, su uso sistemático en relación con bifurcaciones y fenómenos no lineales solo emergió entre 2019 y 2024, cuando se empleó la geometría de la información de Fisher para estudiar bifurcaciones, ciclos límite y otros fenómenos dinámicos no lineales, conduciendo a la formulación covariante de la teoría geométrica de bifurcaciones (GBT). En este enfoque, la incorporación de la teoría de la información de Fisher en los axiomas de la dinámica no lineal genera una métrica Riemanniana correspondiente, permitiendo la representación de sistemas dinámicos como variedades Riemannianas. La métrica y su curvatura escalar son herramientas particularmente valiosas para explorar fenómenos no lineales, especialmente en casos donde los métodos estándar ofrecen soluciones limitadas o nulas. Este informe tiene como objetivo revisar las principales contribuciones de este formalismo geométrico dentro del marco de sistemas dinámicos gobernados por ecuaciones diferenciales. En particular, presentamos una visión detallada del marco matemático de GBT, que incluye la construcción de variedades Riemannianas a partir de sistemas dinámicos, la métrica de información de Fisher y el papel de la curvatura escalar en la detección de bifurcaciones locales y globales, ciclos límite y otros fenómenos no lineales. También discutimos cómo GBT proporciona una solución a la segunda parte del problema dieciséis de Hilbert, y cómo este resultado se alinea con hallazgos previos obtenidos hace algún tiempo mediante otros métodos bajo circunstancias algo diferentes. Finalmente, destacamos el estado actual de GBT y direcciones prometedoras para investigaciones futuras.