El nivel de coprimos de los primos es O (log log p): una jerarquía universal de 2, 3

Definimos el nivel de coprimos de un primo p: el número de pasos recursivos necesarios para expresar p como un número suave más un residuo coprimo, comenzando desde el alfabeto 2, 3. Probamos una recurrencia cuadrática para la codificación ±1, mejorada a una recurrencia super-exponencial R₊+₁ ≤ Cₖ · Rₖ^φ (P₊+₁) bajo la codificación coprima a través de asociación negativa (Dubhashi-Ranjan). Combinado con la inmunidad de Cunningham y una base computacional (todos los 50, 847, 534 primos por debajo de 10⁹ tienen nivel de coprimos ≤ 3), esto da el límite universal L (p) = O (log log p) para todos los primos. El documento también establece obstrucciones de congruencia, conecta los residuos coprimos a la clasificación de Frobenius en campos ciclotómicos, y muestra que el conjunto óptimo de Connes 2, 3, 5, 7, 11, 13 consiste en los primos más pequeños de Nivel 0+1.