Contact structures, Legendrian knots and open book decompositions

Zwei besonders effektive und komplementäre Möglichkeiten, Kontakt-3-Mannigfaltigkeiten zu präsentieren, sind (i) Kontaktchirurgie-Diagramme, d. \, h. \ Kontaktchirurgie an Legendrianlinks in (S^3, ₒₓ), und (ii) Offenbuchzerlegungen, vermittelt durch die Giroux-Korrespondenz. Motiviert durch die Rolle des Kirby-Kalküls für gerahmte Links in der 3-Mannigfaltigkeiten-Topologie besteht das Hauptziel darin, ein entsprechendes Kalkül für Kontaktchirurgie-Diagramme sowie die zum Beweis eines solchen Resultats notwendigen Werkzeuge zu entwickeln. Der erste Hauptbeitrag ist ein expliziter Algorithmus zur Legendrian-Realisierung: Gegeben ein Legendrian-Graph G (R^3, ₒₓ) (über seine Frontprojektion) und eine homologisch nichttriviale Kurve auf einer Bandfläche (ribbon surface) von G, liefert der Algorithmus die Frontprojektion eines Legendrian-Knotens, der diese Kurve Legendrian realisiert. Eine zentrale Anwendung ist eine algorithmische Umwandlung von abstrakten Offenbüchern in Legendrian-Chirurgiediagramme: Aus einem abstrakten Offenbuch (, ), dessen Monodromie als Produkt von Dehn-Twists entlang homologisch nichttrivialer einfacher geschlossener Kurven dargestellt ist, erhält man einen Kontaktchirurgie-Link L=L₁ L₂, der dieselbe Kontaktmannigfaltigkeit repräsentiert. Der Kontaktchirurgie-Link L₁ kodiert die Faktorisierung von, während L₂ aus mit +1 markierten Legendrian-Unknoten mit tb=-1 besteht. Dies ist eine Verbesserung eines analogen Algorithmus von Avdek. Nebenbei wird eine Eindeutigkeitsaussage etabliert: Legendrian-Realisierungen derselben Kurve auf einer Bandfläche sind Legendrian-isotop; entsprechend gilt dies für Legendrian-Knoten auf Seiten von Offenbüchern, die dieselbe Isotopieklasse repräsentieren, wodurch ein Resultat von Lisca et al. verstärkt wird. Der zweite Hauptbeitrag ist eine Kontakt-Version des Satzes von Kirby: Je zwei Kontaktchirurgie-Links in (S^3, ₒₓ), die kontaktomorphe Kontakt-3-Mannigfaltigkeiten darstellen, sind durch eine endliche Folge von Zügen miteinander verknüpft: Legendrian-Isotopien, Einfügen/Entfernen kürzender Paare, Kontakt-Handleslides sowie (neue) Laternen- und Kettenzüge---gewonnen durch eine Verfeinerung von Avdeks Ribbon-Move-Formalismus.