Polinomios de Alexander torcidos de curvas algebraicas planas

L'étude de la topologie des courbes algébriques planes a été initiée par Enriques et Zariski dans les années 1920. Le groupe fondamental de leur complément constitue un invariant naturel, suffisamment fort pour montrer que la description des singularités d'une courbe ne détermine pas nécessairement son plongement. Étant donné que le problème de l'isomorphisme est indécidable, on étudie les polynômes d'Alexander tordus associés à des représentations linéaires du groupe fondamental. Notre travail se situe à l'intersection de la topologie de basse dimension, de la théorie des représentations et de la géométrie algébrique. La principale contribution de cette thèse est de décrire, de manière unifiée, la structure des familles de représentations réductibles non abéliennes dans SL₂ (C) associées à un groupe finiment présenté, induites par un caractère fixé. Nous montrons que ces familles admettent une paramétrisation géométrique naturelle sous la forme d'une variété projective, dont la dimension est contrôlée par les variétés caractéristiques au sens de Libgober. Cela fournit une description concrète et calculable des variétés de représentations réductibles, à travers lesquelles on peut décrire l'ensemble des polynômes d'Alexander tordus associés. Nous établissons de nouveaux résultats de divisibilité pour les polynômes d'Alexander tordus associés à des représentations réductibles de tout groupe finiment présenté. Dans le cas particulier des (larges familles de) courbes algébriques planes, nous montrons que ces invariants sont calculables dans le cadre de notre paramétrisation. Nous établissons des relations générales entre eux et expliquons, en termes géométriques, pourquoi les invariants de torsion peuvent varier de manière discontinue à l'intérieur des strates réductibles. En particulier, nous montrons que la variation de la torsion est contrôlée par une stratification finie de la variété de représentations réductibles, sur laquelle la torsion est localement constante.