Definition and characterization of pseudo-curvatures for fractal curves

La rugosité est essentielle dans diverses applications telles que l'industrie (frottement, mouillabilité, échange thermique) et l''informatique graphique (générer des terrains ou des textures cohérentes). Bien qu'il existe différentes mesures de rugosité pour chaque application, une caractérisation générale de la rugosité reste difficile à fournir. Les principales propriétés de la rugosité sont l'autosimilarité et l'irrégularité, qui sont des propriétés des fractales. En mathématiques, l'irrégularité se caractérise par l'étude des propriétés différentielles. Dans cette thèse, nous nous concentrons sur les propriétés différentielles des courbes fractales définies à partir d'un Iterated Function System (IFS). Nous introduisons la fonction différentielle caractéristique (DCF), un nouvel outil pour caractériser et analyser leur comportement différentiel. Nous associons une famille de DCF au point fixe de chaque opérateur. Nous dérivons les conditions (basées sur la base propre de l'opérateur) pour l'existence des dérivées première et seconde en ces points. Cela induit des familles gauche et droite de DCF pour un ensemble dense de points de la courbe, résultant en des plages de courbures gauche et droite: les pseudo-courbures. Nous appliquons les conditions obtenues pour définir des contraintes différentielles afin de contrôler la continuité C^ (0), C^ (1) et C^ (2) d'une courbe fractale. Ces contraintes permettent la construction de courbes avec différents types de différentiabilité. Ainsi, nous introduisons deux nouvelles méthodes: la première caractérise le comportement différentiel du second ordre des courbes fractales ; la seconde est utilisée pour générer des courbes fractales avec les propriétés différentielles souhaitées.