次椭圆边值问题的新进展

本文介绍了 Hörmander 向量场的背景和性质，并给出了一类次椭圆 Dirichlet 边值问题的相关研究结果。对于这类问题，在次临界增长的情形下，本文对多重解和多重变号解的存在性分别给出了两种充分条件，并揭示了这两种条件在不同退化情形下各有其优势。我们最新的研究结果表明对退化椭圆方程边值问题而言较之经典椭圆方程的边值问题，在解的存在性研究方面具有本质性区别，这方面依赖于算子的退化点是正则的还是奇异的。此外，本文还讨论了具临界增长条件下，一般情形的 Baouendi-Grushin 型拟线性次椭圆边值问题，建立了其非负解及 Brezis-Nirenberg 型问题正解的存在性和正则性结果。