Spectral Mean Flow in Laplace Mixtures Variance Dissipation, Covariance Dynamics, and Riccati Closure

Abstract — English We study the dynamical structure induced by Laplace mixtures of exponential modes, F (t) = ∫₀^∞ e^ (-λt) dμ (λ), where μ is a positive measure on 0, ∞). Introducing the tilted spectral measuredμₜ (λ) = e^ (-λt) dμ (λ) / F (t), the effective decay rater (t) = -F' (t) /F (t) coincides with the spectral mean, r (t) = Eₜ[λ. Differentiation yields the variance dissipation identityr' (t) = -Varₜ (λ), which implies monotone convergence of the effective rate toward the minimal spectral point of the mixture. We show that the tilted spectral measure follows a continuous replicator equation and that bi-atomic spectra produce an exact Riccati closure, r' (t) = - (r-p) (q-r). A global variance dissipation law, ∫₀^∞ Varₜ (λ) dt = r (0) - inf supp (μ), is derived, linking the observable dynamics to the structure of the underlying spectral measure. The framework connects Laplace transform theory, covariance dynamics, and replicator flows, and provides a simple mechanism of spectral selection revealing the minimal mode of the mixture. Résumé — Français Nous étudions la structure dynamique induite par les mélanges de Laplace de modes exponentiels, F (t) = ∫₀^∞ e^ (-λt) dμ (λ), où μ est une mesure positive sur 0, ∞). Sous la mesure spectrale inclinéedμₜ (λ) = e^ (-λt) dμ (λ) / F (t), le taux effectifr (t) = -F' (t) /F (t) coïncide avec la moyenne spectrale, r (t) = Eₜ[λ. La dérivation conduit à l’identité fondamentale de dissipation de variancer' (t) = -Varₜ (λ), qui implique une convergence monotone du taux effectif vers le point spectral minimal du mélange. Nous montrons que la mesure spectrale inclinée satisfait une équation continue de type replicator et que les spectres bi-atomiques produisent une fermeture exacte de Riccati, r' (t) = - (r-p) (q-r). Une loi globale de dissipation de variance, ∫₀^∞ Varₜ (λ) dt = r (0) - inf supp (μ), est obtenue, reliant la dynamique observable à la structure de la mesure spectrale sous-jacente. Ce cadre relie la théorie des transformées de Laplace, les dynamiques de covariance et les flots de type replicator, et fournit un mécanisme simple de sélection spectrale révélant le mode minimal du mélange. Resumen — Español Estudiamos la estructura dinámica inducida por mezclas de Laplace de modos exponenciales, F (t) = ∫₀^∞ e^ (-λt) dμ (λ), donde μ es una medida positiva en 0, ∞). Bajo la medida espectral inclinadadμₜ (λ) = e^ (-λt) dμ (λ) / F (t), la tasa efectivar (t) = -F' (t) /F (t) coincide con la media espectral, r (t) = Eₜ[λ. La derivación produce la identidad de disipación de varianzar' (t) = -Varₜ (λ), que implica convergencia monótona de la tasa efectiva hacia el punto espectral mínimo de la mezcla. Mostramos que la medida espectral inclinada sigue una ecuación continua de tipo replicator y que los espectros biatómicos producen un cierre exacto de Riccati, r' (t) = - (r-p) (q-r). También derivamos una ley global de disipación de varianza, ∫₀^∞ Varₜ (λ) dt = r (0) - inf supp (μ), que conecta la dinámica observable con la estructura de la medida espectral subyacente. Este marco conecta la teoría de la transformada de Laplace, las dinámicas de covarianza y los flujos replicator, y proporciona un mecanismo simple de selección espectral que revela el modo mínimo de