التكاملات البيضاوية: من هندسة φ إلى خوارزمية AGM

تقدم هذه الورقة تحليلاً مقارنة بين نهجين مختلفين جذريًا لحساب التكاملات البيضاوية الكاملة من النوع الأول K(k): 1. طريقة AGM الكلاسيكية (المتوسط الحسابي الهندسي) - خوارزمية تكرارية سريعة ذات تقارب تربيعي. 2. صيغة Sapri Aurea - تقريب هندسي مباشر يعتمد على النسبة الذهبية φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618، التي اقترحها المؤلف. تتطلب صيغة Sapri Aurea فقط 7 عمليات (مقابل 20-30 ل AGM) وتحقق: - دقة 0.00004% للتحدب الصغير (k < 0.1) عند δ = 0 - دقة 0.1-0.3% لـ k < 0.8 عند δ = 0.23 - دقة ~1% لـ k < 0.95 مع δ المعاير. تتضمن الورقة: - اشتقاق رياضي كامل - تحليل مقارن مع AGM - قيم تجريبية لـ δ(k) - نظرية أخذ عينات هندسية قائمة على φ - تنفيذ الصيغ باستخدام JavaScript - توسيع الدقة من الرسومات اللحظية إلى الفيزياء النظرية. يكشف العمل عن ارتباط هندسي عميق بين التكاملات البيضاوية والنسبة الذهبية، مشيرًا إلى φ باعتبارها "محسّنًا طبيعيًا للتحدب" يظهر باستمرار في المشاكل المتعلقة بالقطع الناقص والبصريات وديناميكيات الموجات والإسقاط المنظوري.