Optimale Fehlerabschätzungen für gemischte Finite-Elemente-Methoden bei SPDEs mit gradientenabhängigem multiplikativem Rauschen

Abstract Dieser Artikel entwickelt und analysiert gemischte Finite-Elemente-Methoden (MFEMs) für Itô-Typ stochastische partielle Differentialgleichungen (SPDEs), die von gradientenabhängigem multiplikativem Rauschen getrieben werden. Lösungen solcher SPDEs können aufgrund gradientenabhängiger stochastischer Effekte rasch ihre Regularität verlieren oder potenziell in endlicher Zeit divergieren. Indem der Gradient der Lösung in MFEM als unabhängige Variable behandelt wird, verfolgen wir explizit den Einfluss des Gradienten u auf die vorgeschlagenen Verfahren, indem wir im Beweis die Beziehung der festgelegten Koeffizientenparameter setzen. Wir beweisen streng, dass die vorgeschlagenen semi-diskreten und voll-diskreten Verfahren theoretisch optimale starke Konvergenzraten im Raum und in der Zeit erreichen können. Numerische Tests werden ebenfalls präsentiert, um die theoretischen Ergebnisse zu validieren und die Wirksamkeit unserer vorgeschlagenen Methode für SPDEs mit gradientenabhängiger Stochastizität zu demonstrieren.