Algebraic Note — Hidden Structures of the Conceptual Triptych: Galois norm identities, universal bridge to 1/2, and double algebraic signature of Nf = 3

EN DESCRIPTION This note presents a collection of exact algebraic identities concerning the Galois structure of the Conceptual Triptych (CT). The three quadratic number fields of the CT — ℤ√2 (cosmology), ℚ (√5) (inflaton), ℚ (√6) (gauge couplings) — form an integrated system whose coherence is illuminated by a rational Galois norm network. Proven results include: the identity tan θW = Vₘin linking the Weinberg angle to the minimum of the CT scalar potential; a fourfold norm −1/4 coincidence across two distinct fields; a triple norm identity −5/4 connecting all three fields simultaneously; a double independent algebraic constraint selecting Nf = 3 within this framework; and an impossibility theorem (Hasse-Minkowski) establishing the structural absence of any norm −1/4 element in ℚ (√6). All results are labelled Exact or Theorem and verified by formal computation (SymPy). Algebraic companion note to Version V22 of the Conceptual Triptych (DOI 10. 5281/zenodo. 19579065). DESCRIPTION FR Cette note présente un ensemble d’identités algébriques exactes sur la structure de Galois du Triptyque Conceptuel (TC). Les trois corps quadratiques du TC — ℤ√2 (cosmologie), ℚ (√5) (inflaton), ℚ (√6) (couplages de jauge) — forment un système intégré dont la cohérence est éclairée par un réseau de normes de Galois rationnel. Les résultats démontrés incluent: l’identité tan θW = Vₘin reliant l’angle de Weinberg au minimum du potentiel scalaire TC ; une coïncidence quadruple de norme −1/4 à travers deux corps distincts ; une identité de norme triple −5/4 connectant simultanément les trois corps ; une double contrainte algébrique indépendante sélectionnant Nf = 3 dans ce cadre ; et un théorème d’impossibilité (Hasse-Minkowski) établissant l’absence structurelle d’élément de norme −1/4 dans ℚ (√6). Tous les résultats sont étiquetés Exact ou Théorème et vérifiés par calcul formel (SymPy). Note compagnon algébrique de la version V22 du Triptyque Conceptuel (DOI 10. 5281/zenodo. 19579065).