p ≡ 1 (mod q)

(EN) This document investigates the equation N = 19A + 9B and proves that the smallest non-negative A-value in every representation equals the digital root of N: A₀ = dr(N). From this central theorem, structural properties are derived — including the reduction chain as the key to representations, symmetry points, family boundaries, and threshold values. The results are generalised to all pairs (p, q) with p ≡ 1 (mod q), for which a direct solution method is proved that is more efficient than the Euclidean algorithm. The document also contains observations on perfect numbers within this system. (NL) Dit document onderzoekt de vergelijking N = 19A + 9B en bewijst dat de kleinste niet-negatieve A-waarde in elke representatie gelijk is aan de digitale wortel van N: A₀ = dr(N). Vanuit deze centrale stelling worden structurele eigenschappen afgeleid — waaronder de reductieketen als representatiesleutel, symmetriepunten, familiegrensen en drempelwaarden. De resultaten worden veralgemeend naar alle paren (p, q) met p ≡ 1 (mod q), waarvoor een directe oplossingsmethode wordt bewezen die efficiënter is dan het algoritme van Euclides. Het document bevat tevens observaties over perfecte getallen binnen dit systeem.