Equivalencias locales de los estados de grafos

Los estados de grafos forman una amplia familia de estados cuánticos que están en correspondencia uno a uno con grafos matemáticos. Los estados de grafos se utilizan en muchas aplicaciones, como la computación cuántica basada en mediciones, actuando como recursos multipartitos entrelazados. Por lo tanto, es crucial entender cuándo dos estados de este tipo poseen el mismo entrelazamiento, es decir, cuándo pueden transformarse uno en otro mediante operaciones locales solamente. En este caso, decimos que los estados de grafos son LU-equivalentes (unitarios locales). Si las operaciones locales se restringen al llamado grupo Clifford, decimos que los estados de grafos son LC-equivalentes (Clifford local). De manera interesante, una regla simple de grafos llamada complementación local captura completamente la LC-equivalencia, en el sentido de que dos estados de grafos son LC-equivalentes si y sólo si sus grafos subyacentes están relacionados por una secuencia de complementaciones locales. Aunque alguna vez se conjeturó que dos estados de grafos LU-equivalentes son siempre LC-equivalentes, existen contraejemplos y la complementación local falla en capturar completamente el entrelazamiento de los estados de grafos. En este manuscrito introducimos una generalización de la complementación local que sí captura completamente la LU-equivalencia. Usando esta caracterización, demostramos la existencia de una jerarquía estricta e infinita de equivalencias locales entre LC- y LU-equivalencia. Esto también conduce al diseño de un algoritmo cuasi-polynomial para decidir si dos estados de grafos son LU-equivalentes, y a una prueba de que dos estados de grafos LU-equivalentes son LC-equivalentes si están definidos en no más de 19 qubits. Además, estudiamos estados de grafos que son universales en el sentido de que cualquier estado de grafo más pequeño, definido en un conjunto suficientemente pequeño de qubits, puede inducirse utilizando sólo operaciones locales. Proporcionamos límites y una construcción óptima y probabilística.